[프로그래머스 Level 4] 3 x n 타일링

문제

 

가로 길이가 2이고 세로의 길이가 1인 직사각형 모양의 타일이 있습니다. 이 직사각형 타일을 이용하여 세로의 길이가 3이고 가로의 길이가 n인 바닥을 가득 채우려고 합니다. 타일을 채울 때는 다음과 같이 2가지 방법이 있습니다

• 타일을 가로로 배치 하는 경우
• 타일을 세로로 배치 하는 경우

 

예를들어서 n이 8인 직사각형은 다음과 같이 채울 수 있습니다.

 

 

직사각형의 가로의 길이 n이 매개변수로 주어질 때, 이 직사각형을 채우는 방법의 수를 return 하는 solution 함수를 완성해주세요.

 

 

제한 사항

• 가로의 길이 n은 5,000이하의 자연수 입니다.
• 경우의 수가 많아 질 수 있으므로, 경우의 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 return해주세요.

 

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풀이

 

전에 풀었던 2 x n 타일링 문제와 유사한 문제다. (해당 문제는 추후 업로드)

 

동적계획법(DP, Dynamic Programming)으로 해결할 수 있는 문제인데, 점화식을 대략적으로 설계하는 것은 어렵지 않았지만 특수한 케이스가 있어서 조금 고민했다.

 

예를 들어, n = 2일 때

 

 

위 3가지 경우가 나온다. 하지만 n = 4일 때부터 특수한 케이스가 등장하는데,

 

 

기본적으로 n = 2일 때 경우의 수를 가지고, 위 9가지 경우가 등장할 수 있다. 하지만 여기서부터는 

 

 

이러한 독특한 모양이 만들어진다. 점화식을 구해보면,

 

• 기본적인 케이스 A : $$ A_{0} = 1, \ A_{2} = 3 \quad A_{n} = \left\{ \eqalign{ 3 \times A_{n-2} + B \quad (n \text{ is even)} \\ 0 \quad (n \text{ is odd)} } \right. $$
• 특수한 케이스 B : $$ B_{n} = \sum_{ i=4 }^{ n } \ {2 \times A_{i-4}} \quad (n \ge 4) $$

 

코드로 나타내면 다음과 같다.

 

public class Solution {
    private final int MOD = 1000000007;

    public int solution(int n) {
        if(n < 2) return 0;

        long unique = 0;
        long[] dp = new long[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[2] = 3;

        for(int i=4; i<=n; i+=2) {
            unique += (2 * dp[i-4]) % MOD;
            dp[i] = (3 * dp[i-2] + unique) % MOD;
        }

        return (int) dp[n];
    }
}